Essa expresão é usada em diversas situações, e pode sofrer acréscimo de outras palavras específicas para o momento, ou ainda ser usada de forma reduzida, como no exemplo 1.
Ex. 1:
Ao sair mais cedo que as demais pessoas de um local, como do trabalho, por exemplo. Nesse caso usa-se: おさきに しつれいします= Osaki ni shitsurei shimasu. Vale lembrar que é usado por quem está de saída, não valendo para quem está saindo por um instante para retornar logo depois. Nesse caso, a expressão usada seria outra.
Ex. 2:
Ao oferecer passagem à outra pessoa, como ao passar por um porta ou um corredor, por exemplo, usa-se: おさきに どうぞ。= Osaki ni dōzo. Esta expressão ainda é usada por quem está oferecendo à uma outra pessoa que se sirva antes dela em uma fila de refeição, ou ainda outras situações que possam usar a expressão equivalente ao português "Pode ir na frente/ Pode passar na minha frente" ou "Pode ir antes de mim".
Ex. 3:
Ao se "justificar" ao outro por ter se servido antes dessa pessoa, usa-se a expressão: おさきに いただきました。= Osaki ni itadakimashita. Uso a expressão "se justificar", pois no momento não consigo encontrar equivalente em língua portuguesa brasileira. Essa expressão pode ser usada, por exemplo, na seguinte situação:' Em uma reunião ou entre um grupo de pessoas é servido chocolates ou bolachas, e a caixa com os mesmos é passada de pessoa por pessoa para que cada um possa se servir. Ao passar à próxima pessoa a caixa com o chocolate ou bolacha, usa essa expressão, como se fosse "desculpe por ter servido antes de você" '. Neste último caso não me lembro de ter ouvido o uso reduzido "Osaki ni", mas somente o uso da expressão completa "Osaki ni itadakimashita".
No exemplo 1 pode ser usado somente "Osaki ni", mas vale lembrar que a expressão ficará na forma informal. No exemplo 2 pode-se usar a forma reduzida "Dozo", indicando com a mão à passagem à outra pessoa, ou que a mesma possa se servir antes.